Видео, демонстрирующее последовательность построения фрактала
Построение фрактала
Слайд-шоу, демонстрирующее последовательность построения фрактала (с комментариями)
Оговорка в видео: я получаю фрактал, а не треугольник Серпинского (чтобы его получить, нужно рассматривать остатки при делении на 2).
1) Создаю два пустых листа.
-
На первом будет сам треугольник Паскаля,
-
На втором вместо чисел треугольника Паскаля будут записываться остатки при делении этих чисел на 5.
Конечный результат
Математический подход в построении фрактала
1. Нахождение номера столбца:
-
Столбцы нумеруются следующим образом: два символа. Первый - от 0 до Z, второй - от A до Z.
-
При этом в английском алфавите 26 букв.
-
Тогда каждый первый символ нумерует 26 столбцов. Значит первый символ адреса столбца находится целочисленным делением нужного номера столбца на 26. 450//26=17, 17-я буква английского алфавита - Q. Значит первый символ адреса равен Q.
-
Пусть первый символ равен х. Приму XA за 1. Тогда XB=2, XC=3, ... . То есть номер второй буквы в алфавите равен соответствующему номеру столбца. При этом остаток от деления 450%26=8. Принимаю QH за 1. Пусть искомая буква равна Y. Тогда QY=8, то есть Y - 8 буква алфавита, значит H.
-
Выходит, искомый адрес 450-го столбца - это QH.
2. Исследование делимости на 5 треугольника Паскаля:
-
Чтобы исследовать число на делимость на 5, нужно рассмотреть остатки при делении этого числа на 5.
-
Остатками могут быть 1,2,3,4,0. Если остаток при делении на 5 равен 0, то число делится на 5, значит его нужно закрасить.
3. Построение треугольника Паскаля:
-
Первые 450 ячеек первой строки и первые 450 ячеек первого столбца - единицы.
-
Каждая последующая ячейка равна сумме той, что слева от неё, и той, что сверху.
-
(Именно так в математике строится обычный треугольник Паскаля).
Обнаруженные закономерности
1. Для обнаружения закономерностей таким же образом, как в слайд-шоу, построю треугольник Серпинского (рассмотрю делимость на 2). - верхняя фотография
2. Сторона n-го по размеру треугольника равна xy, где x - число, остатки от деления на которое рассматриваются, y - сторона предыдущего (n-1-го) по размеру треугольника.
3. Пусть сторона самого маленького серого прямоугольного треугольника равна х, а его площадь равна x*x/2=0,5x^2. Тогда сторона следующего по размерам прямоугольного треугольника равна 5х, а площадь - 5x*5x/2=12,5x^2. Тогда сторона самого большого серого треугольника на картинке равна 5х*5=25х, а площадь равна 312,5х^2.
4. Образуется фрактал со свойством самоподобия.
5. Коэффициент подобия равен 1/х, где х - число, остатки от деления на которое рассматриваются.
6. Построенные таким образом фракталы имеют топологическую размерность, равную 1.
7. Первые 5 строк и первые 5 столбцов фрактала содержат повторяющиеся через одну ячейку равнобедренные прямоугольные треугольники со стороной в 4 ячейки.
8. Количество треугольников разной площади равно количеству чисел, являющихся остатками при делении на данное число. Это значит, что при делении на 2 всего два вида треугольников, при делении на 5 - пять треугольников разной площади.
9. Образующиеся треугольники равнобедренные прямоугольные и могут быть заданы двумя ячейками, не образующими прямой угол и лежащими на 2 столбце и 2 строке. Например, самый маленький треугольник образуется следующим образом: берутся ячейки с номером 5 второго столбца и второй строки. Параллельно осям через эти точки проводятся прямые до их пересечения. Ячейка пересечения и две начальные ячейки образуют теперь самый маленький треугольник. Следующий треугольник задаётся ячейками с номерами 25, следующий по размеру - 125 и так далее, то есть степенями числа 5.